数の世界を広げよう（数と計算の探究）「99個のリンゴゲームをプロデュース！」５時間目（研究発表会本時）

公開日： 2026年2月21日土曜日

 算数科の津川です。

　令和7年度の研究発表会が2月14日に行われました。様々な場所からご参加いただいた先生方、また私の実践について耳を傾けてくださった先生方、毎回ブログを読んでくださった先生方、本当にありがとうございました。ここでは本時の様子をご紹介させていただきます。

　この時間では、前時に紹介した振り返りを書いた子がその振り返りを読むところから始めました。

C「0はかけると最初からやり直しになったりして、 98 でかけるが出てきたときに 、0 のカードを出すと、0 になって最初からやり直しになるし、割り算の時も結局答えが 0 になるから、最初からやり直しになる」

T「わるも解は 0 だからピンチの回避できる。いいですか？」

　ここで、全員にこの考えがいいかを問いました。双方に対して、自信がなさそうに手を上げる姿がありました。文字だけではこの言葉の意味がわかっていない子がいるのではないかと思い、「÷も解は０」という言葉について、近くに人と話をする時間をとりました。その話の中で、解という言葉の意味がわからないという発言もあったので、解はその答えであるという意味を共有しました。

C「９８の場合に割るカードを出すし、その後に 0 のカードを出した場合によると、 98÷ 0 という式になり、答えがでなくなるんですね。」

T「出なくなるの？」

C「でなくなるというか、 98 に 0 をかけても 0 × 0 は 0 なので、ん？ってなっちゃうんですよね。でも 1 をしても 0 になっちゃうし、２にしても 0 になるので、 98 を 0 で割ることはできない」

T「できないんですか？」

C「はい」

T「でも今最初にあるのは？でも答えは 0 なんでしょ？」

C「０でもあるし、０でもない」

C「未定義だと思う」

T「これあれじゃない？ 98のときだけなんじゃない？」

C「何かを 0 で割った時も」

C「いつでも」

T「何かを 0 で割ったとき？」

C「どれでも割れないわけですよ。0 は 0 のままであって、 0 × 0 = 0 でも 0 × 1 = 0 だから、その下に表すと 98 のところに 0 が入ってなくて、その分だけ…」

T「今理由を説明しだしてるね。何かを 0 で割る時、ここは何でもいいのかな？じゃあ、⬜︎÷ 0 としようか。ちょっとさ、今のことまでで 98 ÷ 0 は 0 なのか、それともできないのか。別に他の答えもあるのか。ちょっと近くの人となはしてみましょう」

　どの数字も0で割ると同じようになるというような考えが出てきていたので、⬜︎÷０を明示しました。そうすることで、⬜︎の中に様々な数字を入れて考えだす姿を期待しました。これが後の第２の課題へとつながっていきます。

T「いいね。今いろんな説明が聞こえる。  0 に分けるとか。あとは 0 って何もないものだったり、 0 回分けるだったり。じゃあちょっと。今までさ、ゲームでもしこれが出たときどうしてた？」

C「０にしていました」

C「いや未定義だと思います」

T「どうすればいいかわかんないもんね」

T「じゃあ、÷0 が出た時に、それってどうすればいいのか。98 ÷ 0 ができないなら、 0 やその他の答えあるのかな。ちょっと自分なりの理由を今から個別で考えてもらおうかな。じゃあちょっと席に戻って、今説明したことの続きノートに書いてみましょう」

　子どもたちが自分の考えをつぶやき出している姿があったので、ここで一旦、自分の席に戻って、一人一人が考えをアウトプットする時間を取りました。

　一人一人が黙々とノートに自分の考えをかく時間が過ぎていきました。多くの子たちが考えをある程度表現することができた状況を見取り、近くの人などを使って考えを共有し合う時間をとっていきました。

　ここからは、この単元を通して、見取ってきた班の交流の様子を紹介いたします。

C１「あれでしょ。でも98÷0＝0だったから、あれでしょ。0×0＝98なんだよ」

C３「98÷0＝0は0×0。０があるっていうのは無理だよね」

C４「じゃあ何がいいのかな？」

C３「９８個かいててもさ、０だったら何もないってことだけど、できないからできないので次が出てこない。つまりこの問題には解がないということでしょう？このは式はできる数はない」

C４「じゃあ何で０があるの？」

C３「１は、例えば、この紙１枚とかというのを表して、０は何もないってこと」

C１「無だよ。何回やっても無のままだから」

C４「じゃあなんでなしになるの？」

C１「だからできないってことだよ」

C４「できないなら式はできないよ」

C３「式はあるんだよ」

C１「けどその式の答えはないってこと」

C４「式があるなら答えはあるでしょ？」

C３「ここには何もないってことだよ」

C２「だから、０×９８は０でしょ？０だからなんもないってことだよ」

C１「できないってことだよね」

C３「０だからね。どれだけ増えても０は０のまんまなんだよ」

　何もないという意味を、このようにジェスチャーで一生懸命表す姿がありました。

C２「０は０。何にもないってことだから」

C３「０はどうやっても同じ」

C２「０に形はないんだよ」

C１「０×０って、０を0人で分けるから。０個のチョコを0人で分けることはできないよね」

C３「０を９８個かけてもね」

C２「０はなんもないってことだから、それをかけても一緒なんだよ」

C４「何もないのが９８個もあるんでしょ」

C３「９８が０個だったら０じゃん」

C１「９＋０が９８回繰り返されても０のままでしょ」

C４「0 +0 = 0はどうして？0＋ 0 は数字表せるけど、それ自体はないって事？」

C２「0+0 ＝０」

C４「0+0 = 0 は、 0は 2つあるんでしょ？」

C３「何もないものが2つあっても、何もないの」

C２「何もないものがたくさんあっても。一生何もないから」

C３「表せるけど、それ自体は何もないんだよ」

　全体の学びの様子を見ていて、それぞれの班で考えが練り上がっている様子が見られたので、全体で共有をする時間を取りました。ただ、この瞬間にも子どもたちの様子を見ていて、様々な領域をまたがる考えが表出していることを見取り、それらの考えを領域を超えて、どうつなげていくかが大事になってくると考えていました。

C「２の場合は、その二等分点を真ん中に置いて、ちゃんと 0まで毎回分けれるけど」

T「となると？」

C「なんか、まるで等分ができないってことです」

T「あー。等分しようと思ってもできないんだね」

C「０は分けられないから」

C「これの面積が９８㎠として、例えば例えば縦を２にしたら横は49じゃないですか。でも、ここを 0 に変えたらこっち0にしても成り立たないというか、 ９８にならないから。多分成り立たない」

C「０は厚さがないよ」

C３「面積に表せないよ。０をどんだけかけても厚さは変わらない」

T「他の説明がある人はいますか？」

C「確かめ算で計算した時に、ここに何を入れても答えが 0 になるから。０＝９８になっちゃう」

T「確かめ算？」

C「かけ算」

T「さっき表してたよね？〇と△を使って表すと。ここに書いてみて」

C「割り算が成り立つには、◯×⬜︎＝△、△÷◯＝⬜︎が成り立っています」

C１「９８÷０＝？で、０×？＝ 98 ってことは、この？に何を入れても絶対98にならない。0×？だから」

T「今意味わかった？」

　わり算とかけ算を行き来する姿が見られたので、近くの人と話し合う時間をとりました。

T「これは成り立ってる？」

C「成り立ってる」

C「余りだね」

C「余りだったらいけるよ」

T「 さっきのやつにも戻るけど、今までのやつは？0× 98 だったら、 0 × 98 は、 0＝98 になるんだよね。これは、成り立ってないで大丈夫かな？」

C「そしてこっちは成り立ってる」

T「実はね、もう一つ成り立つ式を見つけてます。ちょっと書いてみて。

C「これに 0 入れたことにより、 0 ÷ 0 になり、筆算の場合によると、こういう風になるんですね」

C「で、例えばここにはてなのところに、？にする、その答えが２だとする。そういう風にするとここが 2 になる、 0 × 2。つまり 0 × 2 = 0 なので、結果的にここが 0 になって、 0 になるんですね。つまり…」

T「ちょっと待って。ここまでわかった？」

　

　子どもたちの様子を見ていて、わる数に０が出てきたことに合わせて、その理由を説明し始めたことで、ついてこれていない子がいることを感じ、話を止めることにしました。そして、まずはここまでの話がわかったか整理をする時間をとりました。

T「ここまでわかった？じゃあ 0 ÷ 0 はOK？0 ÷ 0。いけると思う人？」

C「ある意味いけそうな感じですけど。ある意味いけない」

T「ある意味いけるんだ」

C「 まず 0 の中に0。0 は数が同じだから1個あると思っても。けど0×1をしても数え方が0になって。けど、0の中に 0 が 0 の中に 2個あるってなっても、 0 になるから、このかける数が 無限にある」

C「だから 0 の中には 0 が無限に入っていくことになる。0 の中に 0 が無限になる。何個でも何個でもある」

C「だから、 0÷0 は 2 で成り立つじゃないですけど、 3とか 4 とか 5 とかそれでも確かめ算で成り立つから。わざわざにしなくてもいいみたいな。無限に答えが出てきたから成り立つけど、またちょっと成り立たないような感じがする」

T「じゃあ。 0 ÷ 0 をじゃあ答え何と置こうか。答えが何でもいいとき、これまで何使ってた？⬜︎を使ってたね。これ計算すると？」

C「⬜︎× 0 は＝0」

C「この中に何でも入る」

T「ちなみに９８の方は？⬜︎×９８＝０。これは？」

C「これ絶対何も入らない」

C「何も入らない」

C「 0 分の 98 だった」

C「0 分の 98」

T「0 分の 98。0 分のなんとかで連想できるもの何かある？分数のとかで」

T「これ何だった？」

C「反比例だ」

C「x × y ってやつだ」

T「これ使ってたね」（面積の図を指して）

T「これがもし、これが分母が 0 があったらどこだと思う？」

C「分母が 0 だったら。端っこに来てる」（y軸と接している）

T「これよかった？」

C「これはダメです」

　ここで、算数図日記をかく時間をとりました。

全員分の算数図日記を紹介したいところですが、ほんの一部だけ紹介させていただきます。

 　最後に議論したことをもとにして、自分の考えをまとめる姿がありました。また、特に反比例のグラフと面積図が一致したことに強い印象残している様子もありました。

　面積図の考えに納得している振り返りもあります。これは、図と関連させて振り返りをまとめようとしています。またゲームのルールとして÷０をしてしまった後にはどうするかを考えている姿もありました。

　さらに、算数図日記の図の部分に、これまでの四則演算と絡めながら説明する姿がありました。この中では、自然数と０を具体的なりんごの個数に戻って考察している姿もあります。

　最後の０÷０のところで、具体的な数に戻って考える姿がありました。（同じ数）÷（同じ数）なので、1になるという考察はとても素敵だなと思いました。ただこの振り返りをかいた子も、結局どの数も答えとなり得るから成り立ってないと考えていました。

　今回の研究発表会の本時では、これまで子どもたちが見出してきた様々な領域の数学的な表現が表示しました。また、それらの表現をつなげながら考えている子も出てきていました。この姿こそ、より、これから抽象的になっていく数をイメージしていくことができるようにするために、とても重要な手立てになるのではないかと思っています。また、その際の教師の出についても研究会でたくさんのご意見をいただきました。いただいたご意見をもとにまたこれからも研究を進めてまいりたいと思っています。ご意見をいただいた先生方、参観していただいた先生方、本当にありがとうございました。

　この後の時間では、最終的にどのようなルールにするのかまとめていきました。次回では少しそこの様子に触れてこの単元のブログを終了したいと思います。

最後までお読みいただきありがとうございました。

算数科　津川